过年了来更一波。

（伍六七更新了！耶！）

通过Fourier级数解决热传导问题

上一节推导了一维热传导方程：

(资料图片)

指出它具有线性性质并且需要满足边界条件。显然还有。

事实上，方程内类似一元函数导数的东西就是二元函数的导数，然而由于两个方向上的导数不一样，故称为偏导数，这样的有偏导数的方程称为偏微分方程。

这个偏微分方程的几何意义是：函数下凸的部分会升温，上凸的部分会降温，快慢与二阶导数值大小有关。

如果能将初始分布函数分解为无穷多个函数的和：

那么通过线性得知我们把右边所有函数对应的解叠加就能得到目标解。

然而，要进行这样的操作，我们得保证右侧每一个函数都能容易地求出解才行。

那么怎样的函数能容易得出解呢？观察到原微分方程包含了一阶与二阶导数且两者成正比例，因此或许我们可以用一些初等函数代入，看是否能凑出一些简单的解。这里指的初等函数显然是指数函数与三角函数，因为它们求完导后和自己本身长得比较像。那么究竟代入谁呢？

事实上，代入指数函数就玩不下去了。因为我们没有用一堆实变指数函数加起来叠出任意函数的理论。下面用三角函数试试。设初始温度分布为：

求二阶导：

一方面，根据方程，它正比于温度随时间变化的一阶导数，另一方面，等号右边包含了函数本身，因此：

这说明原方程转为只需要考虑零阶和一阶导数的式子，微分方程完成了降次。这个式子意味着温度随时间的变化率与当前温度本身成比例。

事实上，注意到上式右侧的系数恒为负，这由三角函数的性质亦可得。例如，三角函数在大于零处二阶导必为负，则它下一刻会降温。指数函数就不满足这个条件，用它求导后上式右边的负号消失，如果要出现符号则必须要让指数部分引入虚数，而这根据欧拉公式则又回到了三角函数。

上式还给出了一个良好的性质，我们考察初始温度分布函数的取值不同的两个点，不妨设它们之间的取值是两倍关系且都为正，那么根据上式，它们下一刻温度下降的速度亦是两倍关系。取值为两倍的那个点下降速度亦是另一个点的两倍，这告诉我们下一刻它们的取值仍然必定是两倍关系！因此这指出的重要性质是经过一段时间后，整个分布函数相对于原分布函数来说只是整体乘以了一个常数。换句话说每个点的温度是成比例下降的。

好，那么经过一段时间后，我们怎么才知道原分布函数要乘以一个怎样的常数呢？事实上，既然不同时间之间的温度分布函数之间的区别只是乘以了一个常数，我们就已经可以写出整个二元函数的表达式了：

也就是说最后的工作是要确定这个关于时间的函数。此外，常数可以直接合并进函数内：

我们之前一直在关注整个二元函数关于距离的切片，现在既然已经得到了二元函数的表达式，不妨观察一下关于时间的切片。找一个任意的，它对应的函数切片是：

。是常数。由于我们已经知道初始分布为三角函数的情况下温度随时间的变化速度与当前温度成比例，因此：

整理得：

其中。看得出显然是一个指数函数。下面用稍微超纲的知识证一下：

（证）   由得，积分得，因此。证毕。

由于这对任意都成立（与有关的常数已经被消掉了），因此我们最终得到二元函数的表达式：

。会二元函数导数的同学可以验证一下是否满足原微分方程。此外，上式即为初始分布为三角函数的情形的解。